Radon 变换及其 MATLAB 代码解析

Radon 变换是指将物体内的各点对经过某一固定点的直线做积分得到一个函数的过程。在医学成像、地球物理勘探以及非破坏性检测等领域都有广泛的应用。在 MATLAB 中，我们可以使用内置函数 “radon” 来完成 Radon 变换。

Radon 变换的定义

Radon 变换是一种基于正弦余弦变换（Fourier 变换）的积分变换。它可以将物体内的各点对经过某一固定点的直线做积分得到一个函数，描述这条直线密度的变化情况。常用于三维成像和切片重建。它的数学定义如下：

$$R(\\rho,\\theta)=\\int_{-\\infty}^\\infty \\int_{-\\infty}^\\infty f(x,y)\\delta(x\\cos\\theta+y\\sin\\theta-\\rho)dxdy$$

MATLAB 中的 Radon 变换

MATLAB 的 “radon” 函数可以用来计算 2D 平面上的 Radon 变换。该函数的语法格式为：

$$[R,xp]=\\text{radon}(I,\\theta)$$

其中，$I$ 是输入图像，$\\theta$ 是所选取的投影角度数组。输出变量 $R$ 是每一个投影的累加值之和，$xp$ 是每一个投影的位置（即 $\\rho$ 值）。

Radon 变换的示例

下面我们来看一个 Radon 变换的示例。我们首先生成一个含有三个椭圆的图像，然后对它进行 Radon 变换。MATLAB 代码如下：

```matlab

% 生成含有三个椭圆的图像

I=zeros(200,200);

[x,y] = meshgrid(linspace(-1,1,size(I,1)));

I((x-0.25).^2 + (y-0.25).^2 < 0.4^2) = 1;

I((x+0.35).^2 + (y+0.35).^2 < 0.3^2) = 1;

I((x-0.5).^2 + (y+0.45).^2 < 0.25^2) = 1;

I = imnoise(I, 'gaussian');

% 使用 radon 函数计算 Radon 变换

% 将 Radon 变换结果可视化

```

Radon 变换结果的解释

通过对结果进行可视化，我们可以看到一张关于所选投影角度的 2D 图像。我们可以从中看到每一个投影（即一条直线）的强度，强度越高则表示线上的像素点越多。下面是对 Radon 变换结果的详细解释：

1. 横轴表示投影角度 $\\theta$，纵轴表示直线距离 $\\rho$ 的变化情况。

2. 图像中明显的白线是三个椭圆的轮廓对应的投影线，投影线的强度越高则表示在该线上有更多的椭圆像素点。

3. 图像的对称性标志着数据中的反对称性。

4. 图像开头和结尾处曲线平滑表示空间外部环境对变换结果的影响。对于该示例，这些影响主要是由于图像边缘。

总结

Radon 变换是一种基于正弦余弦变换的积分变换，可以用来处理医学成像、地球物理勘探等领域的数据。在 MATLAB 中，我们可以使用内置函数 “radon” 来计算 2D 平面上的 Radon 变换。通过对 Radon 变换结果的分析，我们可以得出关于原数据的物理信息。